要在手机上安装谷歌浏览器并设置自动同步，请按照以下步骤操作：
1. 首先，确保您的手机已经安装了谷歌服务框架（Google Play Services）。如果没有，请前往Google Play商店下载并安装。
2. 打开手机上的“设置”应用。
3. 在“设置”菜单中，找到并点击“应用管理”或“应用信息”。
4. 在“应用管理”页面中，找到“Google Play Store”或“Google Play服务”，点击进入。
5. 在“Google Play Store”页面中，点击右上角的“检查更新”按钮。如果有任何可用的更新，系统会提示您进行更新。
6. 等待更新完成后，返回到“应用管理”页面。
7. 在“应用管理”页面中，找到“Google Play服务”，点击进入。
8. 在“Google Play服务”页面中，点击“安装”按钮。
9. 安装完成后，返回到“应用管理”页面。
10. 在“应用管理”页面中，找到并点击“已安装的应用”，找到“谷歌浏览器”，点击进入。
11. 在“谷歌浏览器”页面中，点击“立即下载”按钮。
12. 下载完成后，点击“完成”按钮。
13. 安装完成后，返回到“应用管理”页面。
14. 在“应用管理”页面中，找到并点击“已安装的应用”，找到“谷歌浏览器”，点击进入。
15. 在“谷歌浏览器”页面中，点击右上角的“设置”按钮。
16. 在“设置”页面中，找到并点击“同步”。
17. 在“同步”页面中，选择“自动同步”。这样，您的谷歌浏览器数据就会自动与云端同步。
现在，您的谷歌浏览器应该已经成功安装在您的手机上，并且数据已经自动同步了。